Калькулятор квадратных уравнений онлайн — с решением и дискриминантом
Хотите быстро и правильно решить квадратное уравнение онлайн? Наш калькулятор поможет вам. Введите коэффициенты a, b, c и получите мгновенное решение с подробным объяснением. Подходит для 8 класса и подготовки к экзаменам.
ax² + bx + c = 0
📝 Подробное решение
📐 Использованные формулы
Попробуйте решить самостоятельно
Введите свои коэффициенты в поля выше или используйте готовые примеры, чтобы отработать формулу корней квадратного уравнения:
Что такое квадратное уравнение
Квадратным называется уравнение вида ax² + bx + c = 0, где x — переменная, а a, b, c — некоторые числа (коэффициенты), причём a ≠ 0. Коэффициент a называют старшим (или квадратичным), b — линейным, c — свободным членом. Если a = 0, уравнение становится линейным и решается иначе.
Квадратные уравнения широко применяются в геометрии (нахождение сторон, пересечений), физике (движение с ускорением), экономике (точки безубыточности) и, конечно, в школьном курсе алгебры 8 класса. Как найти дискриминант и применить его — основа решения.
Формула квадратного уравнения
Основной способ решения — через дискриминант. Формула корней квадратного уравнения зависит от знака дискриминанта:
| Дискриминант | D = b² – 4ac |
|---|---|
| D > 0 | x₁,₂ = (–b ± √D) / (2a) |
| D = 0 | x = –b / (2a) |
| D < 0 | x₁,₂ = (–b ± i√|D|) / (2a) (комплексные корни) |
Как найти дискриминант
Дискриминант — это ключевая величина, определяющая характер корней. Чтобы вычислить D, подставьте значения a, b, c в формулу D = b² – 4ac. Знак дискриминанта сразу говорит о количестве решений:
- D > 0 — два различных действительных корня (парабола пересекает ось Ox в двух точках).
- D = 0 — один корень (вершина параболы касается оси).
- D < 0 — действительных корней нет, но есть два комплексных (парабола не пересекает ось).
Если вам нужно только найти дискриминант онлайн без вычисления корней, воспользуйтесь отдельным калькулятором.
Как найти корни квадратного уравнения
После вычисления дискриминанта подставляем его в формулу корней квадратного уравнения. Если D > 0, получаем два значения; если D = 0 — одно; если D < 0 — корни комплексные, они всегда являются сопряжёнными: x₁,₂ = α ± βi. Наш калькулятор отображает их в привычном виде.
Примеры решения квадратных уравнений
Пример 1: x² – 5x + 6 = 0
Коэффициенты: a = 1, b = –5, c = 6.
Дискриминант: D = (–5)² – 4·1·6 = 25 – 24 = 1 > 0.
Корни: x₁ = (5 + √1)/(2·1) = 3, x₂ = (5 – √1)/(2·1) = 2.
Ответ: x₁ = 3, x₂ = 2.
Пример 2: 2x² – 3x – 2 = 0
Коэффициенты: a = 2, b = –3, c = –2.
Дискриминант: D = (–3)² – 4·2·(–2) = 9 + 16 = 25 > 0.
Корни: x₁ = (3 + 5)/(4) = 2, x₂ = (3 – 5)/(4) = –0.5.
Ответ: x₁ = 2, x₂ = –0.5.
Пример 3: x² – 9 = 0 (неполное, b=0)
Коэффициенты: a = 1, b = 0, c = –9.
Дискриминант: D = 0² – 4·1·(–9) = 36 > 0.
Корни: x₁ = (0 + 6)/(2) = 3, x₂ = (0 – 6)/(2) = –3.
Ответ: x = 3, x = –3.
Неполные квадратные уравнения
Если один из коэффициентов b или c равен нулю, уравнение называется неполным. Рассмотрим три случая:
- c = 0 (ax² + bx = 0): выносим x за скобки: x(ax + b) = 0 → x₁ = 0, x₂ = –b/a.
- b = 0 (ax² + c = 0): переносим c: ax² = –c → x² = –c/a. Если –c/a ≥ 0, то x = ±√(–c/a); иначе корни комплексные.
- b = 0 и c = 0 (ax² = 0): единственный корень x = 0.
Для решения линейных уравнений у нас тоже есть отдельный инструмент.
Квадратное уравнение с параметром
Если коэффициенты содержат буквенные параметры (например, x² + kx + 1 = 0), то решение зависит от значения параметра. Обычно требуется исследовать дискриминант и определить, при каких значениях параметра уравнение имеет один, два или ни одного корня. Наш калькулятор пока не поддерживает символьные вычисления, но вы можете подставить конкретные числа и проанализировать результат.
Связанные формулы и методы
| Теорема Виета | Для приведённого уравнения x² + px + q = 0: x₁ + x₂ = –p, x₁·x₂ = q. Подробнее на странице Формула Виета. |
|---|---|
| Выделение полного квадрата | ax² + bx + c = a(x + b/(2a))² + (c – b²/(4a)) |
| График параболы | Вершина: x₀ = –b/(2a), y₀ = –D/(4a); ветви вверх при a>0, вниз при a<0. |
| Свойства коэффициентов | Сумма корней = –b/a, произведение = c/a (для любого квадратного). |
Почему наш калькулятор лучше
- Бесплатно и без регистрации — никаких скрытых платежей.
- Подробное пошаговое решение — поймёт даже восьмиклассник.
- Супер‑простой режим — объяснения человеческим языком.
- Комплексные числа — поддерживаем даже отрицательный дискриминант.
- Настраиваемая точность — от 2 до 6 знаков после запятой.
- Копирование ответа и решения — удобно для домашнего задания.
- Адаптивный дизайн — работает на телефоне, планшете, ПК.
- Никакой рекламы внутри калькулятора — только чистый расчёт.
Частые ошибки учеников при решении квадратных уравнений
- Неправильное определение коэффициентов: например, в уравнении –x² + 2x – 1 = 0 забывают, что a = –1, а не 1.
- Потеря корня при неполных уравнениях: в ax² + bx = 0 часто забывают про x = 0.
- Ошибки в знаках при подстановке в формулу дискриминанта: особенно когда b отрицательное.
- Забывают про комплексные корни и пишут «корней нет», хотя на самом деле они есть в множестве комплексных чисел.
- Неправильное упрощение корня из дискриминанта: например, √12 = 2√3, а не 3,46 (если не требуется десятичное приближение).
Наш калькулятор помогает избежать этих ошибок, показывая каждый шаг.
Часто задаваемые вопросы (FAQ)
Дискриминант D = b² – 4ac определяет число корней. Если он больше нуля — два решения, равен нулю — одно, меньше нуля — комплексные корни.
При нулевом дискриминанте формула даёт один корень x = –b/(2a). Например, x² – 6x + 9 = 0 имеет корень 3.
Теорему Виета удобно использовать для приведённых уравнений (a=1) с целыми корнями. Для остальных случаев проще дискриминант.
Уравнение становится линейным. Его решение x = –c/b (если b≠0). Наш калькулятор предупредит об этом.
Если c=0, выносим x: x(ax+b)=0 → корни 0 и –b/a. Если b=0, переносим c: x² = –c/a. При –c/a≥0 корни ±√(–c/a).
Это числа вида a + bi, где i — мнимая единица (i² = –1). Они появляются при отрицательном дискриминанте.